نگاهی گذرا بر مباحث ریاضی

دربارة «ذوزنقه» و «ذوزنقه گون» بيشتر بدانيم

ترجمه: ابوالفضل گِـروِئي

ab_gerveei@yahoo.com

منبع: www.tutorvista.com/math

© استفاده از اين مطلب و ديگر مطالب اين وبلاگ در وبسايتها، کتابها، مقالات و ديگر وسايل انتشار اطلاعات تنها با درج نام «وبلاگ» و «مترجم» مجاز است.

بخش دوم – انواع، خواص و قضاياي مهم ذوزنقه

انواع ذوزنقه

ذوزنقه با اضلاع نابرابر (Scalene trapezium): هيچ يک از اضلاع با يکديگر برابر نيستند.

ذوزنقه متساوي الساقين (Isosceles Trapezium): اگر ساقهاي ذوزنقه متجانس باشند آن گاه ذوزنقه گون، ذوزنقه گون متساوي الساقين خواهد بود.

ذوزنقه راست گوشه (Right-angled Trapezium): ذوزنقه اي است با دو زاوية قائمه.

ويژگيهاي ذوزنقه

1- تنها يک جفت از اضلاع مقابل موازي هستند.

2- هر دو جفت زواياي مقابل مکمل هستند.

ويژگيهاي ذوزنقة متساوي الساقين:

1- تمام خواص ذوزنقه را دارا هستند.

2- اضلاع غير موازي با يکديگر مساوي اند.

3- قطرها برابرند.

4- زواياي پايه (ضلع بزرگ موازي با ضلع کوچک) برابرند.

ويژگيهاي ذوزنقة راست:

1- تمام خواص ذوزنقه را دارا هستند.

2- يک زاوية قائمه دارند.

قضاياي مربوط به ذوزنقه

◄ اگر ذوزنقه متساوي الساقين باشد، آن گاه هر جفتِ زواياي پايه با هم برابرند.

◄ اگر ذوزنقه اي يک جفت زواياي پاية برابر داشته باشد، آن گاه يک ذوزنقة متساوي الساقين است.

◄ يک ذوزنقه متساوي الساقين است اگر و فقط اگر قطرهاي آن با هم برابر باشند.

قضية خط مياني براي ذوزنقه:

خط ميانة يک ذوزنقه با هر کدام از پايه ها موازي است و و طول آن برابر است با نصفِ مجموعِ طولهاي پايه ها.

دربارة «ذوزنقه» و «ذوزنقه گون» بيشتر بدانيم

ترجمه: ابوالفضل گِـروِئي

ab_gerveei@yahoo.com

منبع: www.tutorvista.com/math

© استفاده از اين مطلب و ديگر مطالب اين وبلاگ در وبسايتها، کتابها، مقالات و ديگر وسايل انتشار اطلاعات تنها با درج نام «وبلاگ» و «مترجم» مجاز است.

بخش نخست – آشنائي و تعاريف اوليه

ذوزنقه (Trapezium) يا ذوزنقه گون (Trapezoid) چهاروجهي اي است که يک جفت از اضلاع با هم موازي هستند. اضلاع موازيِ يک ذوزنقه پايه (Base) و اضلاعِ غيرموازي ساق (Leg) ناميده ميشوند. ميانة مرکزيِ (Central median) ذوزنقه، خط واصل نقاطِ مياني ساقهاست و موازي با پايه ها و معادلِ نصفِ مجموعِ طول آنهاست. ارتفاع ذوزنقه فاصلة عمودي بينِ پايه هاست. مساحت ذوزنقه برابر است با «نصفِ حاصل ضربِ ارتفاع و مجموعِ پايه ها» که معادل است با «حاصل ضربِ ارتفاع و ميانه».

مساحت A يک ذوزنقه با معادلة زير داده ميشود:

A = (1/2) · h · (a+b)

وقتي که h ارتفاع و a و b طولهاي اضلاع موازي هستند.

ميانة مرکزي يک ذوزنقه، m ، معادل است با ميانگين طولهاي پايه هاي ذوزنقه. يعني

m = (1/2) · (a+b)

بنابراين مساحت ذوزنقه برابر است با طول ميانه اش ضرب در ارتفاع؛ يا

A= m · h

براهماگوپتا رياضيدان مشهور هندي (668-598).

براهماگوپتا (Brahmagupta) رياضيدان معروف هندي يک کار عالي در مورد ذوزنقه ها دارد. قضية معروف «ذوزنقة براهماگوپتا» در مورد چهارضلعيهاي چرخه اي يا cyclic quadrilateral (ذوزنقة متساوي الساقين) است.

Trapezium in Orion Nebula M42

منبع عکس: www.celestronimages.com. براي ديدن عکس در اندازة واقعي بر روي عکس کليک فرمائيد.

ذوزنقه جايگاهش را نه تنها در هندسه بلکه در اخترشناسي نيز يافته است؛ جائي که يک خوشة باز در قلب سحابي جبار (Orion  Nebula) در صورت فلکي اوريون (جبار يا Orion) به نام ذوزنقه (The Trapezium) يا خوشة ذوزنقه اي جبار (Orion Trapezium Cluster) ناميده شده است.

نوار موبـيوس

بخش دوم: مفهوم مرزِ ناحيه، خواص و کاربرد نوار موبيوس

تدوين و ويرايش: فخري بساره

◄ تعريف مرز يک ناحيه در فضا:

مرزِ يک ناحيه، خط جدا کنندة آن ناحيه از ناحية ديگر است. در رياضيات براي يک سطح سه مفهوم تعريف مي شود:

۱- نقطة داخلي: نقطه اي که بتوان آن را داخل يک دايره روي سطح محصور کرد.

۲- نقطة خارجي: نقطه اي است که بتوانيم دايره اي حول آن رسم کنيم که متعلق به آن سطح نباشد.

۳- نقطة مرزي: نقطه اي است که هر دايره اي حول آن رسم شود، قسمتي از آن متعلق به سطح و قسمت ديگر آن متعلق به خارج آن سطح باشد.

با اين تعريف نوار موبيوس فقط يک مرز دارد. يعني با يک بار حرکت در کرانه هاي انتهاي نوار تمام مرز آن را مي توانيم طي کنيم.

◄ نکات جالب درباره نوار موبيوس

اگر با يک خودکار بر روي نوار موبيوس خطي در طول نوار بکشيم و ادامه دهيم اين خط دوباره به نقطة شروع باز مي‌گردد و هر دو طرف نوار خط کشيده مي‌شود! در واقع، نوار موبيوس مثالي از يک روية بدون جهت (جهت ناپذير) است. يعني نوار موبيوس سطحي است که يک رو دارد. از خواص حيرت آور اين نوار آن است که اين نوار فقط يک مرز دارد.

نوار موبيوس خواص غيرمنتظرة ديگري نيز دارد؛ براي نمونه، هرگاه بخواهيم اين نوار را در امتداد طولش بِـبُريم به جاي اين که دو نوار به دست بياوريم، يک نوار بلندتر و با دو چرخش به دست مي آوريم! همچنين با تکرار دوبارة اين کار دو نوار موبيوس در هم پيچ خورده به دست مي‌آيد. با ادامة اين کار يعني بريدن پياپي نوار، در انتهاي کار تصاوير غيرمنتظره‌اي ايجاد مي‌شود که به حلقه‌هاي پارادروميک (paradromic rings) موسومند. همچنين اگر اين نوار را از يک سوم عرض نوار ببريم، دو نوارِ موبيوس در هم گره شده با طولهاي متفاوت به دست خواهيم آورد. تمامي اين کارها به آساني قابل اجراء هستند.

کاربرد خواص نوار موبـيوس در معماري

خاصيت موبيوسي: خاصيتي است که رابطة بين «درون» و «بيرون» را وارونه مي‌کند. يعني هر نقطه از يک سطح موبيوسي در عين حال که درون است، بيرون نيز مي‌باشد! بنابراين در يک تغيير پيوسته، نوعي دگرگوني در ماهيت يک فضا صورت مي‌گيرد. در واقع در اين حالت فضا خاصيت دو گانه اما پيوسته پيدا مي‌کند.

خاصيت موبيوس که گذر از درون به برون و از برون به درون را ممکن مي‌کند، کمابيش توانسته است بر فراز شکاف حاصل از دوگانگي (ثنويت) پلي بزند (شايگان،۱۳۸٠). بنابراين، فضاي ِميان «برون و درون»، «پيوستگي» و «تکرار» با يک تعريف رياضي به يک سطح هندسي تبديل مي‌شود. سطحي که بر آن در هر لحظه اي هم داخل و هم خارج فضا هستيم. اين ويژگي در طراحي معماري مورد توجه قرار گرفته است.

فرشيد موسوي در پروژه‌اي به نام خانة مجازي (Virtual House) از خاصيت نوار موبيوس براي طراحي استفاده مي‌کند. او با اين ساختار، سطح توپولوژيکي به وجود مي‌آورد که در آن هر اتاق با اتاق ديگر ترکيب مي‌شود تا نواري دو طرفه و دو منظوره را درست کند (شکلهاي ١ و ۲). در آن پروژه تـضاد بين داخل-خارج، جلو-عقب، پائين-بالا و ديگر مفاهيم در يک سکونتـگاه مورد پرسش قرار مي‌گيرد و ارتباطي خاص ميان اين مفاهيم به وجود مي‌آيد.

ساختار هندسي نوار موبيوس، «درون و بيرون» با «داخل و خارج» را تلفيق مي‌کند و فضاي سومي با کيفيتي جديد به وجود مي‌آورد. اين فضاي سوم، فضايي است که «همزماني»، «تبديل» و «تکرار» در ميان پديده ها در آن رخ مي‌دهد.

◄ منابع:

۱- ويکيپدياي پارسي – آگوست فرديناند موبيوس (از اين نشانه).

۲- ويکيپدياي پارسي- نوار موبيوس (از اين نشانه).

۳- دانشنامة رشد (از اين نشانه).

۴- کافه ديزاين – باشگاه طراحان ايران  (نويسندة مقاله: آزاده شاهچراغي؛ منبع: آرونا) از اين نشانه.

نظر رياضي دان در مورد زن و مرد

روزي از دانشمندي رياضيدان نظرش را درباره زن و مرد پرسيدند. جواب داد:

اگر زن يا مرد داراي ( اخلاق) باشند پس مساوي هستند با عدد يک =1

اگر داراي (زيبايي) هم باشند پس يک صفر جلوي عدد يک ميگذاريم =10

اگر (پول) هم داشته باشند دوتا صفر جلوي عدد يک ميگذاريم =100

اگر داراي (اصل و نسب) هم باشند پس سه تا صفر جلوي عدد يک ميگذاريم =1000

ولي اگر زماني عدد يک رفت (اخلاق) چيزي به جز صفر باقي نمي ماند و صفر هم به تنهايي هيچ نيست، پس ان انسان هيچ ارزشي نخواهد داشت.

نوار موبـيوس

بخش نخست: تعاريف و آشنائي

تدوين و ويرايش: فخري بساره

آگوست فرديناند موبيوس (August Ferdinand Möbius) در روز ۱۷ نوامبر ۱۷۹٠ در شهر زاکسن به دنيا آمد. وي رياضيدان و ستاره شناس مشهور آلماني است. بيشترِ شهرت او به دليل کشف نوار موبيوس است.

نوار موبيوس نواري است که دو لبة آن بر هم قرار گرفته و حلقه‌اي را به وجود مي‌آورد؛ البته بايد يک لبة انتهايي قبل از اتصال به لبة ديگر نيم دور چرخانده شود. اين نوار را دو رياضيدان آلماني به نامهاي آگوست فرديناند موبيوس و جان بنديکت (Johann Benedict) در سال ۱۸۵۸ به طور مستقل و جداگانه کشف کردند و به ثبت رساندند.

◄ روش ساخت نوار موبيوس:

ابتدايي‌ترين راه براي ايجاد اين نوار، انتخاب يک نوار مستطيل شکل، دراز و نرمي است که آن را يک بار مي‌پيچانيم و سپس دو انتهاي آن را به هم متصل مي‌کنيم. سطحي که به اين ترتيب به دست مي‌آيد «نوار موبيوس» ناميده مي‌شود.

اين سطح تنها يک رو دارد. به بيان ديگر، يک صفحة کاغذي را مي‌توان با دو رنگ گوناگون در دو طرف آن رنگ کرد اما نوار موبيوس را با اين روش نمي‌توان با دو رنگ مختلف رنگ کرد. در صورت اقدام به چنين کاري به همان جايي که رنگ کردن را در ابتدا آغاز کرده‌ بوديم، مي‌رسيم؛ در حالي که در طرف ديگر نوار هستيم! پس نوار موبيوس، سطحي است که يک رو دارد و حرکت ما روي آن تا بينهاِت بار تکرار مي شود.

◄ تعريف خاص رياضي:

دليل «يک رويه بودن» اين نوار آن است که در هر نقطة a از نوار موبيوس مي‌توان دو بردار با جهت‌هاي مختلف رسم کرد که بر نوار موبيوس در اين نقطه عمود باشد.

اين بردارها را قائم‌هاي نوار موبيوس در نقطة a مي‌ناميم. يکي از اين بردارها را انتخاب و نقطة a را به تدريج روي نوار موبيوس جابجا مي‌کنيم. در اين صورت بردار ما هم همراه با نقطه a جابجا مي‌شود. بنابراين، روي نوار موبيوس چنان مسير بسته‌اي وجود دارد که اگر قائمي اين مسير را روي سطح بپيمايد، به جاي اين که به وضع نخستين خود برسد، روي برداري که در جهت مخالف وضع نخستين آن است قرار مي‌گيرد.

منابع:

۱- ويکيپدياي پارسي – آگوست فرديناند موبيوس (از اين نشانه).

۲- ويکيپدياي پارسي- نوار موبيوس (از اين نشانه).

۳- دانشنامة رشد (از اين نشانه).

4- کافه ديزاين – باشگاه طراحان ايران (از اين نشانه).

25 تقسيم بر 5 چند ميشه؟

● نوشته: ابوالفضل گروئی

اين ويدئوي زيبا اهميت « ارزش مکاني » اعداد را به خوبي نشان ميدهد.

استاد رياضي سعي دارد تا به زن و شوهري کم سواد رياضي بياموزد. او تقسيم کردن 25 بر 5 را به عنوان مثال روي تخته سياه مينويسد و آن را اين طور حل ميکند: «5×5 ميشه 25». به همين راحتي! چون در جدول ضرب هم همين آمده!

مرد بر ميخيزد و ميگويد: «5 (از 25) به 5 يک مرتبه... کم ميکنيم ميشه صفر. دو مياد زير. حالا 20 به 5 چهار مرتبه... پس جواب 14 ميشه»! استاد داغ ميکند. مينويسد و ميگويد: «5×5 چند ميشه؟ ميشه 25»!

اين بار نوبت زن است. با گچ 14×5 را بر روي تخته سياه مينويسد و ميگويد: «5×4 ميشه بيست... 5×1 هم ميشه 5... پس 20 به علاوة 5 ميشه 25»! استاد رياضي حالا پنج بار عدد 14 را روي تخته سياه مينويسد و ميـپرسد: «جمعِ اينها چه قدر ميشه»؟ مرد، جمعِ اين پنج تا 14 را هم 25 مينويسد؛ چرا که از ديدِ آنها 5 تا 4 ميشود 20 و 5 تا يک هم ميشود 5 ؛ پس حاصل برابر خواهد بود با 25!

منبع:

http://video.google.com/videoplay?docid=-7896457597829603422#

دانلود نسخة الکترونيکي کتاب

فناوريهاي زيست-اطلاعاتي

( Bioinformatics Technologies )

جهت دانلود کتاب الکترونيکي Bio-informatics Technologies چاپ سال 2005 ميلادي با فرمت PDF و حجم MB ۴/۶۴ بر اين نشانه کليک کنيد.

اين کتاب در 12 فصل و 404 صفحه و با ويراستاري «ئي پِنگ فوئبه چِن» نوشته شده است. عنوان چند فصل ابتداي اين کتاب در زير ترجمه شده است:

فصل 1 – آشنائي با بيو-انفورماتيک

فصل 2 – مروري بر بيو-انفورماتيک ساختاري

فصل 3 – انبارداري پايگاه داده در بيو-انفورماتيک

فصل 4 – داده کاوي (Data mining) براي بيو-انفورماتيک

فصل 5 - آموزش ماشيني در بيو-انفورماتيک

فصل 6 - بيوتکنولوژي سيستمها: نمونة جديدي در توسعة بيوتکنولوژي

فصل 7 – مدلسازي محاسباتي فرآيندهاي بيولوژيکي ...

Yi-Ping Phoebe Chen (Ed.)

Bioinformatics Technologies

With 129 Figures and 50 Tables

ISBN 3-540-20873-9 Springer Berlin Heidelberg New York

مسألة قديمي يک رياضيدان دانشمند ايراني حل شد

اين مسأله را نخستين بار «محمدبن حسن کرجي»

(953 تا 1029 ميلادي) ارائه داده بود.

منابع در انتهاي اين مقاله آورده شده اند.

٭ ويرايش و تنظيم: ابوالفضل گروئي

گروهي از محققان فرا ملي (بين المللي) با کمک يک تکنيک نوآورانة ضرب اعداد بزرگ موفق شدند يک مسأله رياضي قديمي را که نخستين بار يک دانشمند ايراني به نام «محمد بن حسن کرجي» مطرح کرده بود، حل کنند.

به گزارش مهر، رياضيدانان آمريکايي، اروپايي، استراليايي و آمريکاي جنوبي به سرپرستي محققان دانشگاه واشنگتن در سياتل موفق شدند با کمک يک تکنيک ضرب اعداد بزرگ و ابررايانه SAGE به سه ميليارد و 148 ميليون و 379 هزار و 694 عدد جديد متجانس (هم ارز) کوچکتر از يک هزار ميليارد دست پيدا کنند.

مدير مؤسسه رياضي آمريکا در اين خصوص اظهار داشت: «مسائل قديمي مثل اين، بسيار دور از دسترس به نظر مي رسند اما براي انجام تحقيقات بزرگ بسيار جالب هستند؛ چرا که رياضيدانان را به توسعة متدهاي جديد براي حل آنها وادار ميکند».

اعداد هم ارز (متجانس) چيستند ؟

مسألة اعداد متجانس (اعداد هم ارز) براي اولين بار در حدود هزار سال قبل توسط يک رياضيدان ايراني به نام محمد بن حسن کرجي (953 تا 1029 ميلادي – 332 تا 408 هجري خورشيدي) مطرح شد. اين دانشمند مساحتي از مثلثهاي مربعي را پيشنهاد داد که اضلاع آن اعداد صحيح هستند. مساحتِ اين مثلث يک عدد متجانس است.

براي نمونه، مثلت مربعي با اضلاع 3-4-5 مساحتي برابر با 6 دارد و به همين دليل عدد 6 يک عدد متجانس است.

کوچک ترين عدد متـجـانس 5 است که مساحت يک مثلث مربعي با اضلاع 2/3، 3/20 و 6/41 است. اعداد متجانس بعدي برابر با 5، 6، 7، 13، 14، 15، 20 و 21 هستند. بسياري از اعداد متجانس تاکنون هرگز محاسبه نشده اند.

( لطفاً بر روي لينک ادامة کليک فرمائيد )

باز هم عدد پي؛

نرم افزار فرانسوي رکورد شکست

استفاده از الگوريتم چادنووسکي براي محاسبة ارقام عدد π

ترجمه: فخري بساره

◄ منبع: ياهو

http://news.yahoo.com

جمعه 8 ژانويه 2010

پاريس – آسوشيتدپرس: يک مهندس نرم افزار فرانسوي روز جمعه اعلام کرد که رکورد جهاني جديدي را در محاسبة پي (Pi) بر جاي گذاشته است؛ عدد ثابتي که رياضيات را براي هزاره هاي متمادي به دنبال خود کشانده است.

«فابريس بلارد» (Fabrice Bellard) به آسوشيتدپرس گفت که از يک رايانة ارزان قيمت براي محاسبة پي تا نزديک به 7/2 تريليون رقم بعد از مميز استفاده کرده است؛ بر خلاف رکوردهاي قبلي که از يک اَبَر رايانه بهره مي بردند.

وي گفت: «اين نتيجه 123 بيليون رقم بيشتر از رکورد قبلي است که در ماه اوت گذشته توسط پروفسور «داي سوکه تاکاهاشي» ژاپني به دست آمد. تاکاهاشي از اَبَر رايانة باز T2K (T2K Open Supercomputer) استفاده کرد و 29 ساعت زمان صرف شد تا پي را به 577/2 بيليون رقم خرد کند.

بلارد 131 روز وقت صرف کرد که شامل 103 روز براي محاسبه بر مبناي دودوئي (باينري binary)، 13 روز براي بازبيني، 12 روز براي تبديل از رقمهاي باينري به مبناي 10 و سه روز پاياني براي امتحان اين تبديل بود. بلارد که به عنوان يک مشاور نرم افزار در تلويزيون ديجيتالي در پاريس کار مي کند، در يک ايميل گفت: «هزينة اين کار اندکي کمتر از 2000 يورو (3000 دلار) بود».

( لطفاً بر روي لينک ادامة مطلب کليک کنيد )

اصل مقاله به زبان انگليسي در « ادامة مطلب » پيوست شده است.

روشي جالب براي ضرب اعداد

ضرب يکي از چهار عمل (عملگر- operation) اصلي در حساب، و جبر مقدماتي است. علاوه ‌بر‌آن، واژة ضرب براي نام‌گذاري و توصيف عمليات گوناگون ديگر در ساير زمينه‌هاي رياضيات، نظير ضرب داخلي بردار‌ها، ضرب ماتريس‌ها، و بسياري موارد ديگر هم کاربرد دارد.

روش « شبکه اي » ابداعي « طبري» براي ضرب اعداد:

در اين روش به تعداد رقمهاي اعدادي که در هم ضرب مي شوند، ماتريسي با همان تعداد سطر و ستون ساخته مي شود. سپس عددِ هر سطر در اعداد ستونها ضرب مي شوند. يکانها در يک گوشه (مثلاً گوشة پائين سمت راست) و دهگانها در گوشة مقابل (مثلاً گوشة بالا سمت چپ) نوشته مي شوند. حال عددهاي حاصل از ضربِ اين سطرها و ستونها به صورت «قطري» با هم جمع مي شوند. توجه کنيد که عدد دهگان حاصل از جمع زدن يک قطر به قطر بعدي انـتقال مي يابد و با اعداد موجود در آن قطر جمع بسته مي شود. در نهايت، عددهاي منفرد از ضلعِ چپِ اين ماتريس تا ضلعِ مجاورِ آن (ضلع پائيني) به ترتيب نوشته مي شوند که همان «حاصلِ ضرب» دو عدد است.

براي درکِ بهتر به شکل زير توجه فرمائيد.

زندگي نامة کوتاه طبري:

ابو حَفص عُمَر بن فَرُّخان طَبَري (درگذشتة ۲۰۰ هجري / ۸۱۵ ميلادي) ستاره‌شناس و معمار ايراني و مترجم از زبان پارسي ميانه بود.

وي از مردم طبرستان بود و در سال ۸۰۰ ميلادي کتابي از دوروتئوس صيدايي را که پيشتر به پارسي ميانه ترجمه شده بود از پارسي ميانه (پهلوي) به عربي ترجمه کرد. براي مطالعة کامل تر زندگاني اين دانشمند اخترشناس و رياضي دان ايراني بر اين نشانه ها:

نشانة يک و  نشانة دو   کليک کنيد.

منابع:

ويکيپدياي فارسي – ابن فرخان طبري (نشانه)

ويکيپدياي فارسي – ضرب (رياضي) (نشانه)

ساعت ديواري هائي براي رياضي دانان

Oblong Gear Wall Clock

ساعت ديواري چرخ دنده اي به شکل دوک

Cuckoo Wall Clock

در اين ساعت بايد معادلة ساده اي را براي دانستن زمان حل کنيد!

براي مشاهدة سخنراني آقاي «کاسپار ريسن» دربارة «تطبيق گراف دوقسمتي براي محاسبة فاصلة تصحيح گرافها» بر اين نشانه کليک کنيد. اين سخنراني صوتي-تصويري که به زبان انگليسي و مدت آن 26 دقيقه است، در شهر آليکانت اسپانيا و در سال 2007 انجام شده است.

براي دانلود اسلايدهاي بسيار مفيد ارائه شده توسط سخنران (به صورت برنامة پاورپوئينت) بر اين نشانه کليک فرمائيد.

آقاي «ريسن» پژوهشگر مؤسسة علوم رايانه و رياضيات کاربردي دانشگاه برن (سوئيس) هستند.

آدرس اي-ميل ايشان نيز riesen@iam.unibe.ch مي باشد.

6^TH  WORKSHOP ON GBR, ALICANTE, 2007

BIPARTITE GRAPH MATCHING FOR COMPUTING THE EDIT DISTANCE OF GRAPHS

Kaspar Riesen and Horst Bunke

riesen@iam.unibe.ch

Institute of Computer Science and Applied Mathematics

University of Bern, Switzerland

جهت دریافت نسخه آزمایشی این نرم افزار به حجم ۶/۶ مگابایت بر اینجا کلیک نمائید.

استفاده از MathType بسیار آسان میباشد و برای استفاده از نمادهای موجود در نرم افزار تنها کافی است پس از انتخاب بر روی آن کلیک نماییم.
نمادها در دو گروه عمده طبقه بندی گردیده اند. گروه نخست گروهی میباشد که بسیار پر کاربرد است و در همان Tab موجود فقط با یک کلیک قابل دسترسی میباشند و گروه دوم که بیشتر نمادهای واسطه ای را شامل میگردد پس از انتخاب نماد دسته ای و انتخاب دوم در اختیار قرار میگیرند.
تقریبا کلیه نمادهای لازم برای عملیات جبر و آنالیز، آمار و احتمال، نظریه اعداد و ریاضیات گسسته در این طبقه بندی ها منظور گشته اند.
نرم افزار کاملا مستقل میباشد ولی به جهت انتقال علائم نیازمند استفاده از فونتهای ضمیمه میباشد که این امر به صورت کاملا اتوماتیک صورت میگیرد. حاصل کار از این نرم افزار تنها با یک Copy و Paste ساده قابل انتقال به سایر نرم افزارها میباشد. به طوری که نمادهای حاصل حتی در نرم افزار WordPad ویندوز نیز قابل نمایش و استفاده میباشد.
خروجی نرم افزار به صورت مستقل در سه فرمت eps ، wmf و فرمت گرافیکی gif قابل ذخیره سازی میباشد.
نرم افزار کاملا Portable میباشد و به کرک خاصی نیاز ندارد.
برای استفاده از نرم افزار تنها کافی فایل MathType.exe را از پوشه Portable MathType v.5.1 اجرا فرمایید.

متن راهنمای بالا از سایت کمیاب آنلاین انتخاب شده است.

جهت دانلود نرم افزار Math Type 5.1 به حجم ۲۱/۷ مگابایت بر اینجا کلیک کنید.

فاکتوريل دوگانه و سري ها

فاکتوريل دوگانه در سري هاي زيباي زير به کار مي رود:

                                 =   

              =  

       =  

توضيح شکل: نمودار چهار تابع مهم در رياضي.

فيبوناچي (آبي)، فاکتوريل دوگانه (قرمز)، اَبَر فاکتوريل (سبز) و هايپر فاکتوريل (ارغواني).

سري زير، مجموع معکوس فاکتوريل هاي دوگانه را به دست مي دهد (از Sloane):

   = 

        =

  =

وقتي که يک تابع گاماي ناقص پائيني است. اين مجموع، مورد خاصي از ثابت چند فاکتوريلي معکوس است.

رامانويان (Ramanuian) مجموع فشرده اي را به صورت زير ارائه داده است (Hardy 1999, p. 106):

ويپل (Whipple) در سال 1926 تعميم اين مجموع را به دست آورد (Hardy 1999, pp. 111-112).

براي مشاهده نمودارهاي ! x و !! x در يک محور مختصاتي به ادامه مطلب برويد (به دليل بزرگ بودن تصوير). 

همچنين موضوع هاي زير را ببينيد (بر روي لينکها کليک نمائيد):

Barnes G-Function, Factorial, Gamma Function, Multifactorial

منابع اصلی:

مراجع:

روابط بين فاکتوريل دوگانه و فاکتوريل عادي

فاکتوريل دوگانه نيز ميتواند به عددهاي صحيح فرد منفي با استفاده از تعريف

   =  

  =

براي n=0, 1, … (Arfken 1985, p. 547) بسط داده شود.

به طور مشابه، فاکتوريل دوگانه ميتواند به آرگومانهاي مختلط به صورت زير بسط يابد:

مشخصه هاي بسيار زيادي وجود دارند که فاکتوريل دوگانه را به فاکتوريلها مربوط ميسازند؛ مانند...

                        ( لطفا بر روي لينک ادامه مطلب کليک فرمائيد )

فاکتوريل دوگانة يک عدد صحيح مثبت n تعميمي از فاکتوريل عادي n! است و به صورت

تعريف مي شود.

توجه کنيد که بنا بر تعريف ارفکن داريم !!0 = !! 1- (Arfken 1985, p. 547). نمادگذاري n!! به صورت گسترده شناخته نشده است و در Cajori ذکري از آن به ميان نيامده است (Cajori, 1993).

براي n = 0, 1, 2, … نخستين مقدارها عبارتند از 1، 1، 2، 3، 8، 15، 48، 105، 384 و ... (Sloane). تعداد رقمهاي دهدهي در !!(10ⁿ) براي n=0, 1, … عبارتند از

1، 4، 80، 1285، 17831، 228289، 2782857، 32828532 و... (Sloane).

فاکتوريل دوگانه در Mathematica به شکل n!! يا Factorial2 آمده است.

فاکتوريل دوگانه مورد ويژه اي از چندفاکتوريل (مالتي فاکتوريل multifactorial) به شمار ميرود.

فاکتوريل دوگانه مي تواند بر حسب تابع گاما و به شکل

بيان شود (Arfken 1985, p. 548).

پايان بخش نخست

منابع

www.mathworld.wolfram.com

www.en.wikipedia.org

انتقادهائي بر کتاب «اصول» اقليدس

اگر بخواهيم کتاب «اصول» اقليدس را با ديد انتقادي بررسي کنيم، متوجه مي شويم بسياري از پيش فرضهاي خود را بيان نکرده است؛ از جمله اين که خط و نقطه وجود دارند، همه نقطه ها بر يک امتداد نيستند و هر خط دست کم دو نقطه دارد.

اگر ما اصول هندسه را انتزاع هايي از تجربه بدانيم، بلافاصله تفاوت اين اصل و چهار اصل ديگر مشخص مي شود. به هيچ وجه نمي توانيم به طور تجربي تحقيق کنيم که آيا دو خط همديگر را مي برند يا نه.

مشکل: اصل پنجم اقليدس

چهار اصل اول همواره مورد توافق رياضيدانان بوده اند. اما آن چه در اين ميان بسياري از هندسه دانان را به خود مشغول مي داشت نه معناي کلي هندسه، بلکه اصل موضوع پنجم بود. اصل پنجم اقليدس که ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود. به نظر مي رسيد که اين اصل پيچيده تر از آن باشد که بتوان آن را به عنوان اصل موضوع پذيرفت و موجب زحمت فكري بود: نه چندان ساده بود كه بتوان اصل بودنش را بدون نگراني پذيرفت و از سوي ديگر قابل اثبات هم نبود. در طي قرنها، تلاش بسياري از سوي رياضيدانان مسلمان و اروپايي براي پيدا کردن راهي جهت کنار گذاشتن اين اصل صورت گرفت. از همان آغاز كساني دچار دودلي شدند و وقت بسياري را براي اثبات آن يا قرار دادن اصلي به جاي آن صرف كردند. اين كوشش ها هرچند به نتيجه قطعي نرسيدند، راه را براي رسيدن به نتيجه مهمتري گشودند...

                                     ( لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید )

حدود سیصد میلیون نفر در سراسر جهان، آغاز بهار طبیعت را با نوروز (New Day) جشن می گیرند.

متاسفانه این روز مهم در هیچ تقویمی از «سازمان ملل متحد» یا سازمان های وابسته به آن ثبت نشده است. با امضای اینـترنتی در آدرس زیر، به ثبت آن کمک کنید. پیش از این امضا باید یک آدرس ایمیل برای خود تهیه کنید.

۱- ابتدا بر روی (اینجا) کلیک کنید.

۲- بر روی لینک (Click Here to Sign Petition) در انتهای صفحه کلیک کنید تا به صفحه بعد بروید.

3- در صفحه جدیدی که باز می شود، به ترتیب نام و نام خانوادگی، آدرس ایمیل، نام شهر و کشور محل سکونت خود (مثلا Tehran, Iran) را به انگلیسی وارد نمائید.

4- بر روی لینک (Preview Your Signature) کلیک نمائید تا پیش نمایه امضای شما نمایان شود.

5- در صفحه جدیدی که باز خواهد شد، روی لینک (Approve Signature) کلیک کنید. امضای اینـترنتی شما انجام شده است.

خواهشمند است جهت ثبت هر چه سریعـتر این میراث ارزشمند پارسی، امضای آن را به دیگران نیز توصیه کنید.