خود آموز مصور مقاطع مخروطی

 

مقطع هاي مخروطي

 

 

 

ترجمه : فخري بساره

 

 

منبع : وبسايت Math is Fun (انگليسي)

 

 

www.mathsisfun.com

 

 

آيـا مي دانيـد که با بـرش دادن داخلِ مخروط مي توان دايره (circle)، بيضي (ellipse)، سهمي (parabola) يا هذلولي (hyperbola) ايجاد کرد؟ همان طور که در شکل زير مي بينيد، تمام اين منحني ها با هم ارتباط دارند.

 

   

 

 

کانون

 

منحني مي توانند با بهره گيري از يک خط راست (خط راهنما يا هادي directrix) و يک نقطه (کانون focus) تعريف شوند.

 

اگر فاصله هاي زير را اندازه گيري کنيد:

 

 

 

 

الف) از کانون به يک نقطه روي منحني و

ب) خط عمود از خط هادي به آن نقطه؛

 

خواهيد ديد که نسبت اين دو فاصل هميشه يکسان است؛ به طوري که:

 

براي يک بيضي نسبت کمتر از يک است.

براي يک سهمي اين نسبت برابر است با يک؛ يعني اين دو فاصله با هم برابرند.

براي يک هذلولي اين نسبت بزرگتر از يک است.

 

خروج از مرکز (Eccentricity)

 

نسبت بالا را «خروج از مرکز» مي نامند و بنابراين مي توان گفت که هر مقطع مخروطي (conic section) «تمام نقطه هائي است که فاصله تا کانون برابر است با خروج از مرکز ضرب در فاصله تا خط هادي».

 

 

 

 

براي 1 > خروج از مرکز > 0 بيضي خواهيم داشت؛

براي خروج از مرکز = 1 سهمي و

براي خروج از مرکز > 1 هذلولي خواهيم داشت.

 

يک دايره، خروج از مرکز برابر با صفر دارد. بنابراين خروج از مرکز نشان مي دهد که يک منحني تا چه اندازه «نا دايره»اي (un-circular) است؛ خروج از مرکز بزرگتر انحناي کمتر.

 

آشنائی با ذوزنـقه - بخش دوم

 

دربارة «ذوزنقه» و «ذوزنقه گون» بيشتر بدانيم

 

ترجمه: ابوالفضل گِـروِئي

 

[e-mail]

 

منبع: www.tutorvista.com/math

 

© استفاده از اين مطلب و ديگر مطالب اين وبلاگ در وبسايتها، کتابها، مقالات و ديگر وسايل انتشار اطلاعات تنها با درج نام «وبلاگ» و «مترجم» مجاز است.

 

 

بخش دوم – انواع، خواص و قضاياي مهم ذوزنقه

 

 

انواع ذوزنقه

 

ذوزنقه با اضلاع نابرابر (Scalene trapezium): هيچ يک از اضلاع با يکديگر برابر نيستند.

 

 

ذوزنقه متساوي الساقين (Isosceles Trapezium): اگر ساقهاي ذوزنقه متجانس باشند آن گاه ذوزنقه گون، ذوزنقه گون متساوي الساقين خواهد بود.

 

 

ذوزنقه راست گوشه (Right-angled Trapezium): ذوزنقه اي است با دو زاوية قائمه.

 

ويژگيهاي ذوزنقه

 

1- تنها يک جفت از اضلاع مقابل موازي هستند.

 

2- هر دو جفت زواياي مقابل مکمل هستند.

 

ويژگيهاي ذوزنقة متساوي الساقين:

 

1- تمام خواص ذوزنقه را دارا هستند.

 

2- اضلاع غير موازي با يکديگر مساوي اند.

 

3- قطرها برابرند.

 

4- زواياي پايه (ضلع بزرگ موازي با ضلع کوچک) برابرند.

 

ويژگيهاي ذوزنقة راست:

 

1- تمام خواص ذوزنقه را دارا هستند.

 

2- يک زاوية قائمه دارند.

 

قضاياي مربوط به ذوزنقه

 

◄ اگر ذوزنقه متساوي الساقين باشد، آن گاه هر جفتِ زواياي پايه با هم برابرند.

 

◄ اگر ذوزنقه اي يک جفت زواياي پاية برابر داشته باشد، آن گاه يک ذوزنقة متساوي الساقين است.

 

◄ يک ذوزنقه متساوي الساقين است اگر و فقط اگر قطرهاي آن با هم برابر باشند.

 

قضية خط مياني براي ذوزنقه:

 

خط ميانة يک ذوزنقه با هر کدام از پايه ها موازي است و و طول آن برابر است با نصفِ مجموعِ طولهاي پايه ها.

 

 

آشنائی با ذوزنـقه - بخش نخست

 

دربارة «ذوزنقه» و «ذوزنقه گون» بيشتر بدانيم

 

ترجمه: ابوالفضل گِـروِئي

 

[e-mail]

 

منبع: www.tutorvista.com/math

 

© استفاده از اين مطلب و ديگر مطالب اين وبلاگ در وبسايتها، کتابها، مقالات و ديگر وسايل انتشار اطلاعات تنها با درج نام «وبلاگ» و «مترجم» مجاز است.

 

 

بخش نخست – آشنائي و تعاريف اوليه

 

 

 

ذوزنقه (Trapezium) يا ذوزنقه گون (Trapezoid) چهاروجهي اي است که يک جفت از اضلاع با هم موازي هستند. اضلاع موازيِ يک ذوزنقه پايه (Base) و اضلاعِ غيرموازي ساق (Leg) ناميده ميشوند. ميانة مرکزيِ (Central median) ذوزنقه، خط واصل نقاطِ مياني ساقهاست و موازي با پايه ها و معادلِ نصفِ مجموعِ طول آنهاست. ارتفاع ذوزنقه فاصلة عمودي بينِ پايه هاست. مساحت ذوزنقه برابر است با «نصفِ حاصل ضربِ ارتفاع و مجموعِ پايه ها» که معادل است با «حاصل ضربِ ارتفاع و ميانه».

مساحت A يک ذوزنقه با معادلة زير داده ميشود:

 

A = (1/2) · h · (a+b)

 

وقتي که h ارتفاع و a و b طولهاي اضلاع موازي هستند.

 

ميانة مرکزي يک ذوزنقه، m ، معادل است با ميانگين طولهاي پايه هاي ذوزنقه. يعني

 

m = (1/2) · (a+b)

 

بنابراين مساحت ذوزنقه برابر است با طول ميانه اش ضرب در ارتفاع؛ يا

 

A= m · h

 

 

 

براهماگوپتا رياضيدان مشهور هندي (668-598).

 

براهماگوپتا (Brahmagupta) رياضيدان معروف هندي يک کار عالي در مورد ذوزنقه ها دارد. قضية معروف «ذوزنقة براهماگوپتا» در مورد چهارضلعيهاي چرخه اي يا cyclic quadrilateral (ذوزنقة متساوي الساقين) است.

 

 

Trapezium in Orion Nebula M42

 

منبع عکس: www.celestronimages.com. براي ديدن عکس در اندازة واقعي بر روي عکس کليک فرمائيد.

 

 

ذوزنقه جايگاهش را نه تنها در هندسه بلکه در اخترشناسي نيز يافته است؛ جائي که يک خوشة باز در قلب سحابي جبار (Orion  Nebula) در صورت فلکي اوريون (جبار يا Orion) به نام ذوزنقه (The Trapezium) يا خوشة ذوزنقه اي جبار (Orion Trapezium Cluster) ناميده شده است.

 

هندسه اقلیدسی- بخش دوم

انتقادهائي بر کتاب «اصول» اقليدس

اگر بخواهيم کتاب «اصول» اقليدس را با ديد انتقادي بررسي کنيم، متوجه مي شويم بسياري از پيش فرضهاي خود را بيان نکرده است؛ از جمله اين که خط و نقطه وجود دارند، همه نقطه ها بر يک امتداد نيستند و هر خط دست کم دو نقطه دارد.

اگر ما اصول هندسه را انتزاع هايي از تجربه بدانيم، بلافاصله تفاوت اين اصل و چهار اصل ديگر مشخص مي شود. به هيچ وجه نمي توانيم به طور تجربي تحقيق کنيم که آيا دو خط همديگر را مي برند يا نه.

مشکل: اصل پنجم اقليدس

چهار اصل اول همواره مورد توافق رياضيدانان بوده اند. اما آن چه در اين ميان بسياري از هندسه دانان را به خود مشغول مي داشت نه معناي کلي هندسه، بلکه اصل موضوع پنجم بود. اصل پنجم اقليدس که ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود. به نظر مي رسيد که اين اصل پيچيده تر از آن باشد که بتوان آن را به عنوان اصل موضوع پذيرفت و موجب زحمت فكري بود: نه چندان ساده بود كه بتوان اصل بودنش را بدون نگراني پذيرفت و از سوي ديگر قابل اثبات هم نبود. در طي قرنها، تلاش بسياري از سوي رياضيدانان مسلمان و اروپايي براي پيدا کردن راهي جهت کنار گذاشتن اين اصل صورت گرفت. از همان آغاز كساني دچار دودلي شدند و وقت بسياري را براي اثبات آن يا قرار دادن اصلي به جاي آن صرف كردند. اين كوشش ها هرچند به نتيجه قطعي نرسيدند، راه را براي رسيدن به نتيجه مهمتري گشودند...

                                     ( لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید )

ادامه نوشته

هندسه اقلیدسی- بخش نخست

هندسه چيست؟

واژه هندسه (Geometry) از دو واژه يوناني «ژئو» Geo به معناي زمين و «متراين» به معناي اندازه گيري آمده است.

اقليدس (حدود300 قبل از ميلاد)، فيلسوف و رياضيدان ساکن آتن (پايتخت يونان) پس از تحصيل در آکادمي افلاطون به دعوت بطلميوس پسر لاگوس به اسکندريه مهاجرت کرد و مکتب رياضي خود را در آن شهر بنيان نهاد. مهمترين اثر اقليدس که نه به عنوان کتابي درسي و يا تمرين در هندسه محض، بلکه با اهدافي به مراتب متفاوت تر نگاشته شد، «اصول» (Elements) نام دارد که در سيزده جلد نگاشته شده است. اين کتاب يکي از تاثيرگذارترين و مهمترين كتابهاي تاريخ بشر در هندسه به شمار مي رود.

اهداف سه گانه آن بنا بر عقيده کارل پوپر (1902-1994) عبارتند از:

1- رفع بحراني که در رياضيات با کشف اعداد گنگ (اصم) پديد آمد (قبلا افلاطون در تيماوس با وارونه کردن نظر فيثاغوريان براي حسابي کردن هندسه، مقدمات اين کار را فراهم کرده بود)؛

2- بازسازي کل رياضيات؛

3- بنا کردن کيهان شناسي بر شالوده هاي هندسي (تا کنون هم بر اين روال عمل ميشود).

روش اقليدس در کتاب «اصول»

روش اقليدس در کتاب اصول، روش اصل موضوعي است. به اين معنا که با استفاده از چند اصل و فرض گرفتن چند مفهوم اوليه به اثبات درستي قضايا و نتايج پرداخته مي شود. براي اين که بتوان در روش اصل موضوعي درستي برهاني را پذيرفت اولا بايد برروي اصول موضوعه و ثانيا برروي قواعد استنتاج، توافق وجود داشته باشد. اقليدس در اين كتاب از تعداد انگشت شماري «اصول موضوع»، تعداد نسبتا قابل توجهي «قضيه» نتيجه گيري ميكند...

                                    ( لطفا بر روی اینک ادامه مطلب کلیک فرمائید )

ادامه نوشته