آشنائی با ذوزنـقه - بخش دوم

 

دربارة «ذوزنقه» و «ذوزنقه گون» بيشتر بدانيم

 

ترجمه: ابوالفضل گِـروِئي

 

[e-mail]

 

منبع: www.tutorvista.com/math

 

© استفاده از اين مطلب و ديگر مطالب اين وبلاگ در وبسايتها، کتابها، مقالات و ديگر وسايل انتشار اطلاعات تنها با درج نام «وبلاگ» و «مترجم» مجاز است.

 

 

بخش دوم – انواع، خواص و قضاياي مهم ذوزنقه

 

 

انواع ذوزنقه

 

ذوزنقه با اضلاع نابرابر (Scalene trapezium): هيچ يک از اضلاع با يکديگر برابر نيستند.

 

 

ذوزنقه متساوي الساقين (Isosceles Trapezium): اگر ساقهاي ذوزنقه متجانس باشند آن گاه ذوزنقه گون، ذوزنقه گون متساوي الساقين خواهد بود.

 

 

ذوزنقه راست گوشه (Right-angled Trapezium): ذوزنقه اي است با دو زاوية قائمه.

 

ويژگيهاي ذوزنقه

 

1- تنها يک جفت از اضلاع مقابل موازي هستند.

 

2- هر دو جفت زواياي مقابل مکمل هستند.

 

ويژگيهاي ذوزنقة متساوي الساقين:

 

1- تمام خواص ذوزنقه را دارا هستند.

 

2- اضلاع غير موازي با يکديگر مساوي اند.

 

3- قطرها برابرند.

 

4- زواياي پايه (ضلع بزرگ موازي با ضلع کوچک) برابرند.

 

ويژگيهاي ذوزنقة راست:

 

1- تمام خواص ذوزنقه را دارا هستند.

 

2- يک زاوية قائمه دارند.

 

قضاياي مربوط به ذوزنقه

 

◄ اگر ذوزنقه متساوي الساقين باشد، آن گاه هر جفتِ زواياي پايه با هم برابرند.

 

◄ اگر ذوزنقه اي يک جفت زواياي پاية برابر داشته باشد، آن گاه يک ذوزنقة متساوي الساقين است.

 

◄ يک ذوزنقه متساوي الساقين است اگر و فقط اگر قطرهاي آن با هم برابر باشند.

 

قضية خط مياني براي ذوزنقه:

 

خط ميانة يک ذوزنقه با هر کدام از پايه ها موازي است و و طول آن برابر است با نصفِ مجموعِ طولهاي پايه ها.

 

 

آشنائی با ذوزنـقه - بخش نخست

 

دربارة «ذوزنقه» و «ذوزنقه گون» بيشتر بدانيم

 

ترجمه: ابوالفضل گِـروِئي

 

[e-mail]

 

منبع: www.tutorvista.com/math

 

© استفاده از اين مطلب و ديگر مطالب اين وبلاگ در وبسايتها، کتابها، مقالات و ديگر وسايل انتشار اطلاعات تنها با درج نام «وبلاگ» و «مترجم» مجاز است.

 

 

بخش نخست – آشنائي و تعاريف اوليه

 

 

 

ذوزنقه (Trapezium) يا ذوزنقه گون (Trapezoid) چهاروجهي اي است که يک جفت از اضلاع با هم موازي هستند. اضلاع موازيِ يک ذوزنقه پايه (Base) و اضلاعِ غيرموازي ساق (Leg) ناميده ميشوند. ميانة مرکزيِ (Central median) ذوزنقه، خط واصل نقاطِ مياني ساقهاست و موازي با پايه ها و معادلِ نصفِ مجموعِ طول آنهاست. ارتفاع ذوزنقه فاصلة عمودي بينِ پايه هاست. مساحت ذوزنقه برابر است با «نصفِ حاصل ضربِ ارتفاع و مجموعِ پايه ها» که معادل است با «حاصل ضربِ ارتفاع و ميانه».

مساحت A يک ذوزنقه با معادلة زير داده ميشود:

 

A = (1/2) · h · (a+b)

 

وقتي که h ارتفاع و a و b طولهاي اضلاع موازي هستند.

 

ميانة مرکزي يک ذوزنقه، m ، معادل است با ميانگين طولهاي پايه هاي ذوزنقه. يعني

 

m = (1/2) · (a+b)

 

بنابراين مساحت ذوزنقه برابر است با طول ميانه اش ضرب در ارتفاع؛ يا

 

A= m · h

 

 

 

براهماگوپتا رياضيدان مشهور هندي (668-598).

 

براهماگوپتا (Brahmagupta) رياضيدان معروف هندي يک کار عالي در مورد ذوزنقه ها دارد. قضية معروف «ذوزنقة براهماگوپتا» در مورد چهارضلعيهاي چرخه اي يا cyclic quadrilateral (ذوزنقة متساوي الساقين) است.

 

 

Trapezium in Orion Nebula M42

 

منبع عکس: www.celestronimages.com. براي ديدن عکس در اندازة واقعي بر روي عکس کليک فرمائيد.

 

 

ذوزنقه جايگاهش را نه تنها در هندسه بلکه در اخترشناسي نيز يافته است؛ جائي که يک خوشة باز در قلب سحابي جبار (Orion  Nebula) در صورت فلکي اوريون (جبار يا Orion) به نام ذوزنقه (The Trapezium) يا خوشة ذوزنقه اي جبار (Orion Trapezium Cluster) ناميده شده است.

 

پیشرفتی بزرگ در زمینه اعداد هم ارز (متجانس)

 

مسألة قديمي يک رياضيدان دانشمند ايراني حل شد

 

اين مسأله را نخستين بار «محمدبن حسن کرجي»

(953 تا 1029 ميلادي) ارائه داده بود.

 

منابع در انتهاي اين مقاله آورده شده اند.

 

٭ ويرايش و تنظيم: ابوالفضل گروئي

 

 

 

گروهي از محققان فرا ملي (بين المللي) با کمک يک تکنيک نوآورانة ضرب اعداد بزرگ موفق شدند يک مسأله رياضي قديمي را که نخستين بار يک دانشمند ايراني به نام «محمد بن حسن کرجي» مطرح کرده بود، حل کنند.

 

به گزارش مهر، رياضيدانان آمريکايي، اروپايي، استراليايي و آمريکاي جنوبي به سرپرستي محققان دانشگاه واشنگتن در سياتل موفق شدند با کمک يک تکنيک ضرب اعداد بزرگ و ابررايانه SAGE به سه ميليارد و 148 ميليون و 379 هزار و 694 عدد جديد متجانس (هم ارز) کوچکتر از يک هزار ميليارد دست پيدا کنند.

 

مدير مؤسسه رياضي آمريکا در اين خصوص اظهار داشت: «مسائل قديمي مثل اين، بسيار دور از دسترس به نظر مي رسند اما براي انجام تحقيقات بزرگ بسيار جالب هستند؛ چرا که رياضيدانان را به توسعة متدهاي جديد براي حل آنها وادار ميکند».

 

اعداد هم ارز (متجانس) چيستند ؟

 

مسألة اعداد متجانس (اعداد هم ارز) براي اولين بار در حدود هزار سال قبل توسط يک رياضيدان ايراني به نام محمد بن حسن کرجي (953 تا 1029 ميلادي – 332 تا 408 هجري خورشيدي) مطرح شد. اين دانشمند مساحتي از مثلثهاي مربعي را پيشنهاد داد که اضلاع آن اعداد صحيح هستند. مساحتِ اين مثلث يک عدد متجانس است.

 

 

 

 

براي نمونه، مثلت مربعي با اضلاع 3-4-5 مساحتي برابر با 6 دارد و به همين دليل عدد 6 يک عدد متجانس است.

کوچک ترين عدد متـجـانس 5 است که مساحت يک مثلث مربعي با اضلاع 2/3، 3/20 و 6/41 است. اعداد متجانس بعدي برابر با 5، 6، 7، 13، 14، 15، 20 و 21 هستند. بسياري از اعداد متجانس تاکنون هرگز محاسبه نشده اند.

 

( لطفاً بر روي لينک ادامة کليک فرمائيد )

 

ادامه نوشته

ساعتـهائی برای ریاضی دانان

 

ساعت ديواري هائي براي رياضي دانان

Oblong Gear Wall Clock

ساعت ديواري چرخ دنده اي به شکل دوک

Cuckoo Wall Clock

ساعت ديواري «کوکو» :

در اين ساعت بايد معادلة ساده اي را براي دانستن زمان حل کنيد!

سخنرانی به زبان اصلی درباره "گراف دو قسمتی"

       

 

براي مشاهدة سخنراني آقاي «کاسپار ريسن» دربارة «تطبيق گراف دوقسمتي براي محاسبة فاصلة تصحيح گرافها» بر اين نشانه کليک کنيد. اين سخنراني صوتي-تصويري که به زبان انگليسي و مدت آن 26 دقيقه است، در شهر آليکانت اسپانيا و در سال 2007 انجام شده است.

 

                          

 

براي دانلود اسلايدهاي بسيار مفيد ارائه شده توسط سخنران (به صورت برنامة پاورپوئينت) بر اين نشانه کليک فرمائيد.

آقاي «ريسن» پژوهشگر مؤسسة علوم رايانه و رياضيات کاربردي دانشگاه برن (سوئيس) هستند.

آدرس اي-ميل ايشان نيز [e-mail] مي باشد.

 

                

 

6^TH  WORKSHOP ON GBR, ALICANTE, 2007

BIPARTITE GRAPH MATCHING FOR COMPUTING THE EDIT DISTANCE OF GRAPHS

Kaspar Riesen and Horst Bunke

[e-mail]

Institute of Computer Science and Applied Mathematics

University of Bern, Switzerland

فاکتوریل دوگانه - بخش سوم

فاکتوريل دوگانه و سري ها

 

فاکتوريل دوگانه در سري هاي زيباي زير به کار مي رود:

 

                                 =   

              =  

       =  

 

                

توضيح شکل: نمودار چهار تابع مهم در رياضي.

 

فيبوناچي (آبي)، فاکتوريل دوگانه (قرمز)، اَبَر فاکتوريل (سبز) و هايپر فاکتوريل (ارغواني).

 

 

 

سري زير، مجموع معکوس فاکتوريل هاي دوگانه را به دست مي دهد (از Sloane):

 

   = 

        =

  =

 

 

وقتي که يک تابع گاماي ناقص پائيني است. اين مجموع، مورد خاصي از ثابت چند فاکتوريلي معکوس است.

 

رامانويان (Ramanuian) مجموع فشرده اي را به صورت زير ارائه داده است (Hardy 1999, p. 106):

 

 

 

 

ويپل (Whipple) در سال 1926 تعميم اين مجموع را به دست آورد (Hardy 1999, pp. 111-112).

 

براي مشاهده نمودارهاي ! x و !! x در يک محور مختصاتي به ادامه مطلب برويد (به دليل بزرگ بودن تصوير). 

 

همچنين موضوع هاي زير را ببينيد (بر روي لينکها کليک نمائيد):

 

Barnes G-Function, Factorial, Gamma Function, Multifactorial

 

---

منابع اصلی:

 

www.mathworld.wolfram.com

www.en.wikipedia.org

مراجع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 544-545 and 547-548, 1985.

Cajori, F. A History of Mathematical Notations, Vol. 2. New York: Dover, 1993.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Meserve, B. E. "Double Factorials." Amer. Math. Monthly 55, 425-426, 1948.

Sloane, N. J. A. Sequences A000165/M1878, A001147/M3002, A006882/M0876, A114488, and A143280 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Whipple, F. J. W. "On Well-Poised Series, Generalised Hypergeometric Series Having Parameters in Pairs, Each Pair with the Same Sum." Proc. London Math. Soc. 24, 247-263, 1926.

ادامه نوشته

فاکتوریل دوگانه - بخش دوم

روابط بين فاکتوريل دوگانه و فاکتوريل عادي

 

فاکتوريل دوگانه نيز ميتواند به عددهاي صحيح فرد منفي با استفاده از تعريف

   =  

  =

براي n=0, 1, … (Arfken 1985, p. 547) بسط داده شود.

     

به طور مشابه، فاکتوريل دوگانه ميتواند به آرگومانهاي مختلط به صورت زير بسط يابد:

مشخصه هاي بسيار زيادي وجود دارند که فاکتوريل دوگانه را به فاکتوريلها مربوط ميسازند؛ مانند...

                        ( لطفا بر روي لينک ادامه مطلب کليک فرمائيد )

ادامه نوشته

فاکتوریل دوگانه - بخش نخست

تعريف فاکتوريل دوگانه

 

فاکتوريل دوگانة يک عدد صحيح مثبت n تعميمي از فاکتوريل عادي n! است و به صورت

تعريف مي شود.

توجه کنيد که بنا بر تعريف ارفکن داريم !!0 = !! 1- (Arfken 1985, p. 547). نمادگذاري n!! به صورت گسترده شناخته نشده است و در Cajori ذکري از آن به ميان نيامده است (Cajori, 1993).

براي n = 0, 1, 2, … نخستين مقدارها عبارتند از 1، 1، 2، 3، 8، 15، 48، 105، 384 و ... (Sloane). تعداد رقمهاي دهدهي در !!(10ⁿ) براي n=0, 1, … عبارتند از

 

1، 4، 80، 1285، 17831، 228289، 2782857، 32828532 و... (Sloane).

فاکتوريل دوگانه در Mathematica به شکل n!! يا Factorial2 آمده است.

فاکتوريل دوگانه مورد ويژه اي از چندفاکتوريل (مالتي فاکتوريل multifactorial) به شمار ميرود.

فاکتوريل دوگانه مي تواند بر حسب تابع گاما و به شکل

بيان شود (Arfken 1985, p. 548).

                

---

پايان بخش نخست

منابع

www.mathworld.wolfram.com

www.en.wikipedia.org

یک مساله از هندسه

 

در شکل زیر AB قطر دایره به مرکز O و شعاع r است. OB قطر دایره به مرکز O' است.

وتر AD در نقطه E بر دایره O' مماس است.

اگر DF عمود بر AB باشد و BF = x، ثابت کنید که: x = 2r/9 .

 

 

میزان شرطی شدن ذهن شما چه اندازه است؟

کاربرد ریاضیات در روانشناسی

 

مغز و ذهن انسان به راحتی می تواند « شرطی» شود. این مطلب را با یک پرسش تصویری جالب بررسی می کنیم.

مربع بزرگی که در شکل زیر می بینید به سه بخش L شکل کاملا مساوی (با شماره های 1، 2 و 3) و یک مربع کوچک تقسیم شده است. در مراحل مختلف، به پرسش های مطرح شده پاسخ دهید. این پرسش ها به طور معمول از آسان به دشوار طراحی شده اند. توصیه می شود مساله را خودتان حل کنید. این سئوالات چندان دشوار نیستند. به هر حال، توصیه می شود از دیدن سریع راه حل تصویری خودداری نمائید.

 

 

( لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید )

ادامه نوشته

فـاکـتوریـل، تعریف و کاربردها

فـاکـتوریـل، تعریف و کاربردها

ترجمه: ابوالفضل گروئی

از دانشنامه آزاد ویکیـپـدیـا

http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial

 

در ریاضیات فاکتوریل یک عدد صحیح نامنفی n که به صورت !n نمایش داده می شود، حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت کمتر از یا برابر با  n است. برای نمونه،

و

نماد !n را کریستین کرامپ (Christian Kramp) در سال 1808 وارد کرد.

 (لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

ادامه نوشته

سئوالات متداول در مورد ریاضیات و مهندسی

 سئوالات متداول در مورد ریاضیات و مهندسی

ترجـمه: ابوالفضل گروئی

از سایت دانشگاه « بریستول» انگلستان

http://www.enm.bris.ac.uk

ریاضیات مهندسی چیست؟

موضوع آن کاربرد ریاضیات و حساب کردن برای مسائل مهندسی نوین است.

با چند مثال چطورید؟

در اینجا نقل قولی از کتاب «بازی، مجموعه و ریاضی»^* نوشته ریاضیدان برجسته انگلیسی و ترویج کننده علم « یان استوارت» آورده می شود:

« ریاضیات اساس شیوه زندگی ما هستند. چه تعداد از مردمی که یک برنامه تلویزیونی را تماشا می کنند، درک می کنند که بدون ریاضیات چیزی برای تماشا وجود نداشت؟ ریاضیات یکی از اجزای مهم در کشف امواج رادیوئی بود. ریاضیات، طرح مدارهای الکترونیکی را که سیگنالها را پردازش می کند، کنـترل می نماید. وقتی تصویر روی صفحه در درون لامپ برچیده می شود و می چرخد تا تصویر دیگری را ظاهر کند، حجم ریاضیاتی که مانند گرافیک رایانه ای وارد زندگی شده است، به درستی معلوم نیست... چند سال پیش، گواهی است بر یکی شدن دوباره ریاضیات محض و کاربسته...

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

ادامه نوشته

شبکه های جهانی کوچک

شبکه های جهانی کوچک

ترجمه: ابوالفضل گروئی

منبع: سایت «www.dsto.defence.gov.au»

 شبکه های جهانی کوچک که توسط دونکان واتس و استون اشتروگاتز توسعه یافت، با در نظر گرفتن یک شبکه حلقه مانند (ring-like network) منظم و با جایگزین کردن تعداد کمی از اتصالهای اولیه با اتصالهای تصادفی در میان شبکه ساخته میشوند.

شبکه تصادفی              شبکه جهانی کوچک              شبکه حلقوی منظم

میانگین جهش ۵/۲          میانگین جهش ۱/۳             میانگین جهش ۱/۴ 

جهت افزایش بی نظمی از چپ به راست

 

این مطلب، بیانگر اهمیت عدد «جهش» متوسط برای رفتن از یک گره در شبکه به گره دیگر است که با زمان سپری شده برای ارسال یک پیام از میان شبکه در ارتباط است. حتی یک عدد «اتصال عرضی» (cross-link) کوچک میتواند به طور قابل توجه عدد میانگین «جهش» را کاهش دهد و شبکه ای که به طور کاملا تصادفی متصل شده است، نمیتواند آنرا بیشتر بهبود دهد.

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

ادامه نوشته