فاکتوریل دوگانه - بخش نخست

تعريف فاکتوريل دوگانه

 

فاکتوريل دوگانة يک عدد صحيح مثبت n تعميمي از فاکتوريل عادي n! است و به صورت

تعريف مي شود.

توجه کنيد که بنا بر تعريف ارفکن داريم !!0 = !! 1- (Arfken 1985, p. 547). نمادگذاري n!! به صورت گسترده شناخته نشده است و در Cajori ذکري از آن به ميان نيامده است (Cajori, 1993).

براي n = 0, 1, 2, … نخستين مقدارها عبارتند از 1، 1، 2، 3، 8، 15، 48، 105، 384 و ... (Sloane). تعداد رقمهاي دهدهي در !!(10ⁿ) براي n=0, 1, … عبارتند از

 

1، 4، 80، 1285، 17831، 228289، 2782857، 32828532 و... (Sloane).

فاکتوريل دوگانه در Mathematica به شکل n!! يا Factorial2 آمده است.

فاکتوريل دوگانه مورد ويژه اي از چندفاکتوريل (مالتي فاکتوريل multifactorial) به شمار ميرود.

فاکتوريل دوگانه مي تواند بر حسب تابع گاما و به شکل

بيان شود (Arfken 1985, p. 548).

                

---

پايان بخش نخست

منابع

www.mathworld.wolfram.com

www.en.wikipedia.org

هندسه اقلیدسی- بخش دوم

انتقادهائي بر کتاب «اصول» اقليدس

اگر بخواهيم کتاب «اصول» اقليدس را با ديد انتقادي بررسي کنيم، متوجه مي شويم بسياري از پيش فرضهاي خود را بيان نکرده است؛ از جمله اين که خط و نقطه وجود دارند، همه نقطه ها بر يک امتداد نيستند و هر خط دست کم دو نقطه دارد.

اگر ما اصول هندسه را انتزاع هايي از تجربه بدانيم، بلافاصله تفاوت اين اصل و چهار اصل ديگر مشخص مي شود. به هيچ وجه نمي توانيم به طور تجربي تحقيق کنيم که آيا دو خط همديگر را مي برند يا نه.

مشکل: اصل پنجم اقليدس

چهار اصل اول همواره مورد توافق رياضيدانان بوده اند. اما آن چه در اين ميان بسياري از هندسه دانان را به خود مشغول مي داشت نه معناي کلي هندسه، بلکه اصل موضوع پنجم بود. اصل پنجم اقليدس که ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود. به نظر مي رسيد که اين اصل پيچيده تر از آن باشد که بتوان آن را به عنوان اصل موضوع پذيرفت و موجب زحمت فكري بود: نه چندان ساده بود كه بتوان اصل بودنش را بدون نگراني پذيرفت و از سوي ديگر قابل اثبات هم نبود. در طي قرنها، تلاش بسياري از سوي رياضيدانان مسلمان و اروپايي براي پيدا کردن راهي جهت کنار گذاشتن اين اصل صورت گرفت. از همان آغاز كساني دچار دودلي شدند و وقت بسياري را براي اثبات آن يا قرار دادن اصلي به جاي آن صرف كردند. اين كوشش ها هرچند به نتيجه قطعي نرسيدند، راه را براي رسيدن به نتيجه مهمتري گشودند...

                                     ( لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید )

ادامه نوشته

هندسه اقلیدسی- بخش نخست

هندسه چيست؟

واژه هندسه (Geometry) از دو واژه يوناني «ژئو» Geo به معناي زمين و «متراين» به معناي اندازه گيري آمده است.

اقليدس (حدود300 قبل از ميلاد)، فيلسوف و رياضيدان ساکن آتن (پايتخت يونان) پس از تحصيل در آکادمي افلاطون به دعوت بطلميوس پسر لاگوس به اسکندريه مهاجرت کرد و مکتب رياضي خود را در آن شهر بنيان نهاد. مهمترين اثر اقليدس که نه به عنوان کتابي درسي و يا تمرين در هندسه محض، بلکه با اهدافي به مراتب متفاوت تر نگاشته شد، «اصول» (Elements) نام دارد که در سيزده جلد نگاشته شده است. اين کتاب يکي از تاثيرگذارترين و مهمترين كتابهاي تاريخ بشر در هندسه به شمار مي رود.

اهداف سه گانه آن بنا بر عقيده کارل پوپر (1902-1994) عبارتند از:

1- رفع بحراني که در رياضيات با کشف اعداد گنگ (اصم) پديد آمد (قبلا افلاطون در تيماوس با وارونه کردن نظر فيثاغوريان براي حسابي کردن هندسه، مقدمات اين کار را فراهم کرده بود)؛

2- بازسازي کل رياضيات؛

3- بنا کردن کيهان شناسي بر شالوده هاي هندسي (تا کنون هم بر اين روال عمل ميشود).

روش اقليدس در کتاب «اصول»

روش اقليدس در کتاب اصول، روش اصل موضوعي است. به اين معنا که با استفاده از چند اصل و فرض گرفتن چند مفهوم اوليه به اثبات درستي قضايا و نتايج پرداخته مي شود. براي اين که بتوان در روش اصل موضوعي درستي برهاني را پذيرفت اولا بايد برروي اصول موضوعه و ثانيا برروي قواعد استنتاج، توافق وجود داشته باشد. اقليدس در اين كتاب از تعداد انگشت شماري «اصول موضوع»، تعداد نسبتا قابل توجهي «قضيه» نتيجه گيري ميكند...

                                    ( لطفا بر روی اینک ادامه مطلب کلیک فرمائید )

ادامه نوشته

ثبت اینـترنتی نوروز در سازمان ملل متحد

حدود سیصد میلیون نفر در سراسر جهان، آغاز بهار طبیعت را با نوروز (New Day) جشن می گیرند.

متاسفانه این روز مهم در هیچ تقویمی از «سازمان ملل متحد» یا سازمان های وابسته به آن ثبت نشده است. با امضای اینـترنتی در آدرس زیر، به ثبت آن کمک کنید. پیش از این امضا باید یک آدرس ایمیل برای خود تهیه کنید.

۱- ابتدا بر روی (اینجا) کلیک کنید.

۲- بر روی لینک (Click Here to Sign Petition) در انتهای صفحه کلیک کنید تا به صفحه بعد بروید.

3- در صفحه جدیدی که باز می شود، به ترتیب نام و نام خانوادگی، آدرس ایمیل، نام شهر و کشور محل سکونت خود (مثلا Tehran, Iran) را به انگلیسی وارد نمائید.

4- بر روی لینک (Preview Your Signature) کلیک نمائید تا پیش نمایه امضای شما نمایان شود.

5- در صفحه جدیدی که باز خواهد شد، روی لینک (Approve Signature) کلیک کنید. امضای اینـترنتی شما انجام شده است.

خواهشمند است جهت ثبت هر چه سریعـتر این میراث ارزشمند پارسی، امضای آن را به دیگران نیز توصیه کنید.

تاسوعا و عاشورا

 

شهادت جگر گوشه پیامبر اسلام (ص) را به تمامی شیعیان و دوستدارانش تسلیت میگوئیم.

 

یک مساله از هندسه

 

در شکل زیر AB قطر دایره به مرکز O و شعاع r است. OB قطر دایره به مرکز O' است.

وتر AD در نقطه E بر دایره O' مماس است.

اگر DF عمود بر AB باشد و BF = x، ثابت کنید که: x = 2r/9 .

 

 

میزان شرطی شدن ذهن شما چه اندازه است؟

کاربرد ریاضیات در روانشناسی

 

مغز و ذهن انسان به راحتی می تواند « شرطی» شود. این مطلب را با یک پرسش تصویری جالب بررسی می کنیم.

مربع بزرگی که در شکل زیر می بینید به سه بخش L شکل کاملا مساوی (با شماره های 1، 2 و 3) و یک مربع کوچک تقسیم شده است. در مراحل مختلف، به پرسش های مطرح شده پاسخ دهید. این پرسش ها به طور معمول از آسان به دشوار طراحی شده اند. توصیه می شود مساله را خودتان حل کنید. این سئوالات چندان دشوار نیستند. به هر حال، توصیه می شود از دیدن سریع راه حل تصویری خودداری نمائید.

 

 

( لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید )

ادامه نوشته

نیلز هنریک آبل

زندگی نامه نیلز هنریک آبل

نابغه ریاضی قرن نوزدهم

ترجمه و تـدوین: فخری بساره

 

نیلز هنریک آبل Niels Henrik Abel یکی از بزرگترین ریاضیدانان قرن نوزدهم و احتمالا بزرگترین نابغه برخاسته از کشورهای اسکاندیناوی (نروژ، سوئد و فنلاند) است. آبل همراه با معاصرانش یعنی گاوس و کوشی، یکی از پیشگامان ابداع ریاضیات نوین بوده است که بر اثبات دقیق تاکید دارد. زندگی او در واقع آمیزه ای بود از خوشبـینی شوخ طبعانه در هنگامی که تحت فشار فقر و گمنامی قرارداشت. دستاوردهای درخشان و فراوانی درایام جوانی بر جای نهاد و در کنار کارهای بسیار مهمی که انجام داد، متواضع بود و در مبارزه با بیماری با مرگی زودرس به آرامی تسلیم شد.

آبل یکی از شش فرزند کشیش فقیری در یکی از روستاهای حومه شهر فینوی کشور سردسیر نروژ و متولد سال 1802 میلادی بود ...

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

ادامه نوشته

فـاکـتوریـل، تعریف و کاربردها

فـاکـتوریـل، تعریف و کاربردها

ترجمه: ابوالفضل گروئی

از دانشنامه آزاد ویکیـپـدیـا

http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial

 

در ریاضیات فاکتوریل یک عدد صحیح نامنفی n که به صورت !n نمایش داده می شود، حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت کمتر از یا برابر با  n است. برای نمونه،

و

نماد !n را کریستین کرامپ (Christian Kramp) در سال 1808 وارد کرد.

 (لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

ادامه نوشته

انـتگرال بـیضوی

انـتـگرال بـیضـوی

مترجمان: فخری بساره - ابوالفضل گروئی

از دانشنامه آزاد ویکیـپدیـا

http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral

 

در حساب انتگرال، انتگرالهای بیضوی اصولا در ارتباط با مساله طول کمان بیضی مطرح می شوند. این انتگرال ها را برای اولین بار جیولیو فاگنانو (Giulio Fagnano) و لئونهارد اویلر (Leonhard Euler) بررسی کردند. ریاضیات نوین، انتگرال بیضوی را به عنوان هر تابع f که بتواند به شکل زیر بیان شود، تعریف میکند:

 

وقتی R تابع گویای دو آرگومان آن، P ریشه دوم یک چند جمله ای درجه سه یا چهار بدون ریشه های تکراری و c یک ثابت است.

در کل، انتگرال های بیضوی نمی توانند بر حسب توابع اولیه بیان شوند. استثناها برای این قاعده کلی وقتی است که P ریشه های تکراری دارد یا وقتی که (R(x,y شامل توان های فرد y نباشند. به هر حال، با فرمول تحویل مناسب، هر انتگرال بیضوی می تواند به شکلی که انتگرالهائی را روی توابع گویا و سه شکل متعارف (برای نمونه، انتگرالهای بیضوی نوع اول، دوم و سوم) در بر گیرد، درآید.

در کـنار فـرم هـائی که در زیـر داده شده انـد، انـتگـرال های بـیـضـوی نـیـز مـمکن است به صـورت لـژانـدر (Legendre form) و صورت متقارن کارلسون (Carlson symmetric form) بیان شوند. بینش بیشتر در نظریه انتگرال بیضوی می تواند از طریق بررسی نقشه نگاری شوارتز-کریستوفل حاصل شود ...

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

ادامه نوشته

سئوالات متداول در مورد ریاضیات و مهندسی

 سئوالات متداول در مورد ریاضیات و مهندسی

ترجـمه: ابوالفضل گروئی

از سایت دانشگاه « بریستول» انگلستان

http://www.enm.bris.ac.uk

ریاضیات مهندسی چیست؟

موضوع آن کاربرد ریاضیات و حساب کردن برای مسائل مهندسی نوین است.

با چند مثال چطورید؟

در اینجا نقل قولی از کتاب «بازی، مجموعه و ریاضی»^* نوشته ریاضیدان برجسته انگلیسی و ترویج کننده علم « یان استوارت» آورده می شود:

« ریاضیات اساس شیوه زندگی ما هستند. چه تعداد از مردمی که یک برنامه تلویزیونی را تماشا می کنند، درک می کنند که بدون ریاضیات چیزی برای تماشا وجود نداشت؟ ریاضیات یکی از اجزای مهم در کشف امواج رادیوئی بود. ریاضیات، طرح مدارهای الکترونیکی را که سیگنالها را پردازش می کند، کنـترل می نماید. وقتی تصویر روی صفحه در درون لامپ برچیده می شود و می چرخد تا تصویر دیگری را ظاهر کند، حجم ریاضیاتی که مانند گرافیک رایانه ای وارد زندگی شده است، به درستی معلوم نیست... چند سال پیش، گواهی است بر یکی شدن دوباره ریاضیات محض و کاربسته...

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

ادامه نوشته

توپولوژی

توپولوژی

ترجمه: فخری بساره

منبع: سایت «www.dsto.defence.gov.au»

 

توپولوژی یک شبکه به «شکل» آن اشاره دارد، یعنی گره ها چگونه متصل شده اند. چند نمونه از توپولوژی شبکه به شکل زیر هستند:

از راست به چپ:

شبکه تصادفی(عدد جهش میانگین 8/2 اکثرا سه اتصاله)

  شبکه بی مقیاس(عدد جهش میانگین 9/2 اکثرا دو اتصاله)

شبکه منظم(عدد جهش میانگین 5/3 چهار اتصاله)

شبکه درختی(عدد جهش میانگین 0/4 یک اتصاله)

شبکه حلقوی مضاعف(عدد جهش میانگین 1/8 سه اتصاله)

 

توپولوژیهای مختلف شبکه خواص متفاوتی دارند...

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید) 

ادامه نوشته

شبکه های جهانی کوچک

شبکه های جهانی کوچک

ترجمه: ابوالفضل گروئی

منبع: سایت «www.dsto.defence.gov.au»

 شبکه های جهانی کوچک که توسط دونکان واتس و استون اشتروگاتز توسعه یافت، با در نظر گرفتن یک شبکه حلقه مانند (ring-like network) منظم و با جایگزین کردن تعداد کمی از اتصالهای اولیه با اتصالهای تصادفی در میان شبکه ساخته میشوند.

شبکه تصادفی              شبکه جهانی کوچک              شبکه حلقوی منظم

میانگین جهش ۵/۲          میانگین جهش ۱/۳             میانگین جهش ۱/۴ 

جهت افزایش بی نظمی از چپ به راست

 

این مطلب، بیانگر اهمیت عدد «جهش» متوسط برای رفتن از یک گره در شبکه به گره دیگر است که با زمان سپری شده برای ارسال یک پیام از میان شبکه در ارتباط است. حتی یک عدد «اتصال عرضی» (cross-link) کوچک میتواند به طور قابل توجه عدد میانگین «جهش» را کاهش دهد و شبکه ای که به طور کاملا تصادفی متصل شده است، نمیتواند آنرا بیشتر بهبود دهد.

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

ادامه نوشته

جنگ در میانه شبکه

جنگ در میانه شبکه

« شبکه های بی مقیاس»

ترجمه: فخری بساره

منبع: www.dsto.defence.gov.au

شبکه های بی مقیاس (Scale-Free networks) که توسط رکا آلبرت و آلبرت-لازلو باراباسی گسترش یافتند، با فرآیند اتصال ترجیحی رشد میکنند. نمودار زیر یک شبکه بی مقیاس دو اتصاله است؛ یعنی هر گره (node) جدید به یک یا دو گره موجود متصل میشود. اتصالهای تازه به طور ترجیحی به سمت گره های «قطب» (مرکزی-hub) جهت گیری میکنند و در نتیجه شبکه های بی مقیاس، عددی کوچکتر از «قطبها»ی با اتصال بسیار خوب دارند.

مانند شبکه های تصادفی (Random networks) و شبکه های جهانی کوچک (Small-World networks)، شبکه های بی مقیاس عدد «جهش» (hops) متوسط کوچکی برای رفتن از یک گره در شبکه به گره دیگر دارند. این مطلب با زمان صرف شده برای ارسال یک پیام از عرض شبکه در ارتباط است (توپولوژی را ببینید).

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

ادامه نوشته

امتحان حسابان - رشته ریاضی و فیزیک - خرداد 1386

امتحان حسابان - رشته ریاضی و فیزیک - خرداد ۱۳۸۶

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید) 

ادامه نوشته

اطلس ریاضی: کاربردهای ریاضیات در علوم

اطلس ریاضی:

کاربردهای ریاضیات در علوم

ترجمه: ابوالفضل گروئی - منبع: سایت www.math.niu.edu

* در صورت تمایل میتوانید اصل مقاله را در انتها مطالعه فرمائید.

از نظر تاریخی، این نیازهای علوم فیزیکی بوده است که محرک توسعه بسیاری از قسمتهای ریاضیات، به ویژه آنالیز بوده اند. گاهی اوقات مشکل است که کاربردها را از نظر ریاضی طبقه بندی کرد، چرا که ابزارهائی از چند حوزه ریاضیات ممکن است به کار گرفته شده باشند. ما روی این کاربردها نه فقط با بحث درباره طبیعت نظم (و سازماندهی) آنها متمرکز میشویم، بلکه برهمکنش آنها با ریاضیات را نیز مد نظر قرار میدهیم.

بیشتر حوزه ها در این گروه (نقاط آبی در تصویر) در مجموع با عنوان «فیزیک ریاضی» شناخته شده اند. تا اندازه ای، ابزارهای ریاضی جدیدتر و به طور پیشرونده پیچیده تر در مهندسی، زیست شناسی و علوم اجتماعی (نواحی بنفش در تصویر) به کار گرفته میشوند.

(لطفا بر روی لینک ادامه مطلب کلیک فرمائید)

ادامه نوشته

اعداد اول، اعداد اول مرسن، بزرگترین عدد اول کشف شده

 

تعریف اعداد اول (odd numbers): «اعداد اول» در علم رياضيات به اعدادي نظير 2، 3، 5، 7 و ‪ ۱۱گفته ميشود كه تنها بر خودشان و همچنين عدد يك بخش پذير بوده و به هيچ عدد ديگري قابل تقسيم نيستند.

تعریف اعداد اول مرسن (Mersenne odd numbers): به آن دسته از اعداد اولي كه برابر يكي از توانهاي عدد دو منهاي یک ‪ هستند، اعداد «اول مرسن» گفته ميشود. به طور مثال، عدد ۷ يك «عدد اول مرسن» است؛ زيرا برابر است با عدد ۲ به توان 3 (يعني۸) منهاي يك.

فرمول ساده مرسن برای اعداد اول.

Marin Mersenne, 1588 - 1648

مارین مرسن (۱۶۴۸-۱۵۸۸) کاشف فرمول معروفی برای اعداد اول.

در دی ماه 1384 دانشمندان دانشگاه ايالتي «ميسوري» آمريكا موفق شدند با استفاده از توان محاسباتي هزاران رايانه، بزرگترين «عدد اول» شناسايي شده در جهان تا آن زمان را با ۹ ميليون و یکصد و پنجاه و دو ‪هزار و پنجاه و دورقم شناسايي كنند. به گزارش بخش خبر آوري اطلاعات ايران، از ایرنا، این دومين باري بود كه يك عدد اول بسيار بزرگ در طرح موسوم به «شناسايي اعداد اول مرسن به كمك شبكه رايانه‌اي»

(Great Internet Mersenne Prime Search)

یا به اختصار (GIMPS) كشف میشد.

در طرح شناسايي «اعداد اول مرسن» از توان محاسباتي بلااستفاده رايانه‌هاي بيش از ۲۰۰ هزار داوطلب در سرتاسر جهان استفاده ميشود.
بزرگترين اعداد اول شناسايي شده در چند سال قبل همگي عدد اول از نوع «مرسن» (Mersenne) بوده‌اند و عدد اولی که در سال 1384 شناسايي شد نيز يك «عدد اول مرسن» بوده و برابر است با دو به توان سی ميليون و چهارصد و دو هزار و چهارصد و پنجاه و هفت منهاي يك. تا آن زمان چهل و سه عدد اول مرسن در جهان شناسايي شده بود. تیم مذکور که این عدد اول بزرگ را کشف کرد، برنده صد هزار دلار جایزه شد.

دانلود عدد اول نه میلیون رقمی- این عدد بزرگ را میتوانید به شکل یک فایل متنی txt به حجم 5/4 مگابایت از اینجا (دانلود) کنید یا به سایت زیر بروید:

http://www.mersenneforum.org/txt/43.txt

بزرگ ترین عدد اول: بزرگترین (در واقع جدیدترین) عدد اول دنیا در مهر ماه 1387 کشف شد. بدیهی است که این عدد اول تازه کشف شده بزرگترین عدد اول نخواهد بود چرا که طبق یک قضیه در تئوری اعداد، اعداد اول نامتناهی هستند.

به گزارش واحد مرکزی خبر و به نقل از شبکه تلویزیونی فاکس نیوز (Fox News)، ریاضیدانان دانشگاه معروف یو. سی.ال.ای (UCLA) آمریکا اعلام کردند که با کمک هفتاد و پنج دستگاه رایانه، عددی سیزده میلیون رقمی را که جزو اعداد اول بوده و فقط بر خود و بر یک بخش پذیر است، خلق کرده اند.
ریاضیدانان آمریکایی با خلق این عدد بسیار بزرگ، جایزه صد و ده هزار دلاری یک شرکت اینترنتی را به خاطر خدمت ارزنده به دانش ریاضی نصیب خودکردند.

به نقل از «جام جم آنلاين» گروهي از دانشمندان امريکائي و آلماني با همکاري يکديگر موفق به يافتن دو عدد شدند که گفته ميشود بزرگ‌ترين اعداد اولي هستند که تاکنون بشر موفق به محاسبه آن گرديده است. کشف اين دو عدد در جريان پروژه Great Internet Mersenne Prime Search یا (GIMPS) که دوازده سال  از عمر آن مي‌گذرد (شروع از سال 1996)، اتفاق افتاد.

بزرگترین عدد اول: بزرگ‌ترين عدد اول که يک عدد 12978189 رقمي مي‌باشد (حدود سیزده میلیون رقمی)، توسط تيمي از دانشگاه کاليفرنيا (UCLA) به دست آمد.

دومین عدد اول بزرگ: دومین عدد اول بزرگ که به دست يک پزشک کاربر آلماني کشف گرديد، شامل 11185272 رقم است.

یافتن اعداد اول فوق العاده بزرگ چه فایده ای دارد؟ اهميت يافتن اين اعداد در کاربرد آنان و افزايش کارآئي و اثربخشي بهتر سيستم هاي رمزنگاري یا (Cryptography) خواهد بود. در واقع، هدف اصلي اين تحقيقات دستيابي به روشي غيرقابل نفوذ و قابل اطمينان از سيستم هاي رمزنگاري ميباشد. اعداد اول در بحث رياضيات و رمزنگاري از اهميت بسزائي برخوردار مي‌باشند اما دستاوردهاي مهمتر، اين گونه به دست خواهند آمد که دريابيم مسائل و مشکلات بزرگتر را ميتوان با روشهاي مشابه حل کرد.

حامی مال این طرح چیست؟ جستجو به دنبال اعداد اول بزرگ (که تنها بر عدد يک و خودشان قابل قسمت مي‌باشند) از سوي بنیاد

(Electronic Frontier Foundation)

که به اختصار (EFF) خوانده میشود، حمايت شده و اين بنياد نقش حامي مالي و اسپانسر چنين فعاليتهايي را ايفا ميکند.  جان گیلمور John Gilmore بنیانگزار بنیاد EFF و رئيس پروژه جوايز اين بنياد مي‌گويد: «جوايز EFF مشوق همکاري ميباشند».

تيم دانشگاه UCLA مبلغ يکصد هزار دلار جايزه برای به دست آوردن يک عدد اول ده ميليون رقمي از EFF دريافت كرد. جوايز بزرگتر شامل يکصد و پنجاه هزار دلار براي کشف عدد اول يکصد ميليون رقمي و مبلغ دويست و پنجاه هزار دلار براي محاسبه عدد اول يک ميليارد رقمي هستند.

***

 در پستهای بعدی مطالب کاملتری از منابع خارجی درباره اعداد اول مرسن تقدیم حضور خواهد شد.

 

* منابع:

http://plus.maths.org

http://www.omegaboshi.net

www.jamejamonline.ir

www.asroone.net

http://hamblogi.ir